중심극한정리(Central Limit Theorem)

모집단에서 일정한 크기의 표본을 추출하여 통계량을 구하는 것을 반복할 때, 이 통계량들이 이루는 분포를 표본분포(Sampling Dist)라 한다. 또한, 통계량이 평균일 때를 평균의 표본분포라 한다.

표본평균의 기대값과 분산은 다음의 식으로 구할 수 있다. 

표본평균의 기대값과 분산

모평균이 , 모분산이 인 모집단으로부터 크기  인 확률표본 을 복원추출할 때, 표본평균 의 기대값과 분산은 다음과 같다. ,

중심극한정리는 모집단의 분포가 어떤 분포를 따르던 간에 표본의 크기가 충분히 커진다면 표본평균의 분포는 근사적으로 정규분포를 따른다는 것이다. 이러한 중심극한정리에 의해 정규분포가 통계적 추론에서 중요한 역활을 하는 것이다. 

중심극한정리  평균이 이고 분산이 인 임의의 모집단에서 랜덤표본 을 추출할 때,  표본의 크기 이 충분히 크면 표본평균 는 근사적으로 을 따른다.  즉, 이 충분히 클 때 근사적으로 다음이 성립한다.